Blog time !1.1 Maxwell’s Theory
Electromagnetics | Electrical Engineering and Computer Science | MIT OpenCourseWare
maxwell’s Equations
微分形式麦克斯韦方程组
- 1为法拉第定律或法拉第磁感应定律。
- 2为安培定律或广义安培电路定律式
- 3为电场的库仑定律或高斯定律。
- 4为高斯定律或磁场的高斯定律。
物质本构方程
其中
Vector Analysis
向量运算重要公式
∇:del Operatoe(del 算符)
定义
是矢量
重要公式
Laplaceian Operator（拉普拉斯算符）
是标量
积分定理
stokes' theorem
Gradient 梯度
Divergence 散度
通量是单位时间通过某个曲面的量，散度是通量的强度和流量
Curl 旋度
补充
这个公式指出
和A是不可交换的，虽然它们是矢量，矢量点乘满足交换律
为了证明1.1.17，只需要证明一个方向成立即可。
1.2 电磁波
Wave Equation and Wave Solution（波动方程和波动解）
微分形式的麦克斯韦方程对空间中的每一点都是有效的。为了解出这个方程，我们将从研究在无源区域的麦克斯韦方程组的解开始。
对（1）式两边同取旋度：
注意到：
称
为拉普拉斯算符，见上文
并且因为系统无源：
满足这个式子有两种情况一个是
，但这与我们的推导矛盾，另一种情况是 ，这与我们的结论吻合。因此可以推到出** 的偏振方向是垂直于传播方向的，因此是一种横波**。为了方便起见，很多推到中认为E是沿着X方向的。
综上，得到亥姆霍兹方程
这是一个偏微分方程，同理可以得到磁场的波动方程
满足该方程的解为波动解
1. x方向的解
对于该偏微分方程，最简单的解为电场方向在x方向，传播方向只沿z方向的波
通解的形式为：
2. zy平面的解
如果将其同理带入亥姆霍兹方程
这是一个二维的色散关系，并且可见：
k的可以被认为是一个矢量，满足矢量的种种运算。如果画出色散关系曲线，是一个空间中的圆锥(cone)。如果固定
，就会得到等频线。
3. 空间的解
这是一个三维的色散关系，并且可见：
同理外推，会得到等频面
4. 磁场的推导
依据
解得：
带入通解会发现：
该关系称为色散关系
dispersion relation:色散关系
色散关系提供了空间频率k和时间频率w之间的重要联系
在研究时空变化量，如E(z,t)时，有两种观点。时间的观点是研究不同时间在空间中固定点上的变化。空间视角是研究固定时间的空间变化。
色散曲线
重要关系
对应磁场解：
其中
Unit for Spatial Frequency k
可以认为k是电磁波在空间中的频率，需要掌握k与
和 的转换
k的单位定义为
相速度
也就是真空中的光速
根据色散关系，空间频率 k 通过相位延迟与时间频率 ω 直接相关
相速度可以理解相位的传播，在真空中等于光速
相位延迟
指磁场与电场有
的相位差
相互垂直的磁场和电场构成了垂直于传播方向的平面，称这种电磁场为plane wave
电磁波谱
群速度 group velocity
Polarization极化
本节探讨了线偏振（linearly polarization）和圆偏振（elliptically polarization）
对于波动方程解
从时间域看。波沿着
- 线偏振波：
圆偏振波：
右旋圆偏振：
左旋圆偏振：
椭圆偏振波：
右旋， 左旋 右旋， 左旋
空间角度看极化
也就是将时间看成z轴，绘制出波的运动。
Poincare Sphere and Stokes Parameters
standing wave solution（驻波解）
是右行波和左行波的叠加
能量与能量密度
对于无源系统
类似于：
如果考虑到一般情况：
represents the time rate of change of the stored electric and magnetic energy density.
is the power supplied by the current
平面波(plane wave)、等相位面(phase front)与一般情况(beam)
平面波的等相位面垂直于传播方向。
beam可以由plane wave叠加得到。通过对
1.4 Hertzian Waves 赫兹天线
A Hertzian Dipole
一个赫兹偶极子是由两个相对的电荷(±q)组成，它们之间隔着无穷小的距离。偶极矩
得到：
亦可以获得色散关系：
定义：
前两个式子可以推导出Lorenz gauge condition：
注意求梯度和对时间求导的顺序是可变的
带入：
得到：
B Electric and Magnetic Fields
1.5 Constitutive Relations 物质本构关系
均匀介质(Effective Media)与非均匀介质
如果波长远大于原子直径，可以认为介质相对于波长为均匀的。
Isotropic Media各向同性介质
补充：
极化矢量应平行于电场方向。
此时，对于色散关系：
可见：
Anisotropic Media各向异性介质
Bi-isotropic Media双各向同性介质
A bi-anisotropic medium provides the cross-coupling between the electric and magnetic fields.
Bi-anisotropic Media双各向异性介质
将以上四个参数化为张量形式
Inhomogeneous Media 非均匀介质
见下一章。
1.6 Boundary Condition边界条件
A. Continuity of Electric and Magnetic Field Components
在界面处取一个小空间，其厚度无限薄。那么我们只需要考虑这个箱子在两个材质内的表面。
因此：
可见，平行于界面的电场分量是不变的，即切向连续，可以通过叉乘提取切向分量。
As across the boundary, field amplitudes may be discontinuous while on the x-y plane they are not varying much. We thus ignore partial derivatives with respect to x and y, and keep only partial derivatives with respect to z.
因此：
又由于电极化矢量的高斯定理：
因此：
同理：
B. Surface Charge and Current Densities
此时要求：
法相电位移矢量受到面电荷密度的影响
磁场强度的环流受到面电流密度的影响
这里的面电流密度等效为线电流密度
而以下两个式子不变：
C. Boundary Conditions
4.1 Reflection and Guidance
examples: x-z方向传播的波
如果规定电磁波在x-z方向传播，为了与其垂直，那么电场可以垂直于x-z平面，或者在平面内又与传播方向垂直，其余情况可以由这两个分量线性组合得到。为了区分这两种情况，定义恒磁TM波（磁场在y方向）和恒电TE波（电场在y方向）
TM stands for transverse magnetic
TE stands for transverse electric
TE
在以上关系中
的取值与书本不同，在下面的推导中再引入方向的分析。
电场
这里仅仅需要在
时成立
- 相位匹配:
- 强度匹配（这个名称是我编的）:
将这个关系带入相位匹配条件。
得到：
磁场
注意依然使用切向连续条件
注意到：
也就是：
综合
讨论
： - 因为
，可以认为它没有布儒斯特角**的现象
- 因为
TM
磁场方向不变，但是电场会有反射和投射现象：
注意三角函数项中的正负号和最前面的正负号
磁场
边界条件：
其中
分别代表反射系数和折射系数，注意这里使用的是系数coefficient，不是reflective，transmissivity，后者表征能量。系数可以带有相位信息 率是一个非负数（能量不能是复数或是负数）
对于第三个式子，我们可以进行一个标量展开，令
注意到等式两边的系数应该对应，为了保证等式恒成立，利用三角函数正交性，可以得到：
一式表示相位匹配（phase matching condition），二式表示强度的匹配。
电场
边界条件：
对于
因此：
注意这里的
取负数。 注意利用边界条件推导系数，用反射的性质推导
的方向。 判断电场前矢量的方向，可以利用磁场强度的散度。
综合
注意，这里的k只是值的大小，全为正。
从能量角度看，反射率和折射率的简单相加不为1，应该分解到每个方向上计算
而真正发生能量分配的方向是
布儒斯特角与全反射
：没有反射，完全透射 情况1 ：同种介质，因为
相等，而在同种介质中传播方向不会发生变化，则 不变，这里要注意联系相位匹配条件 。 情况2 ：
，注意利用 以及相位匹配 条件，以及我们认为 ，可以解出布儒斯特角的条件 。 在布儒斯特角情况下，反射波是线性偏振的，只有TE成分
，波平行入射
, , 得到：
因此要求
此时
为纯虚数，可以推断出在另一个介质中电磁波指数衰减。而此时反射率为复数，因此会引入附加相位差，相位差与入射方向有关。 这个以指数衰减为包络的场为 Evanescent wave
此时
保持，因此反射波形成了 方向驻波，但是依然向着 方向传播。 注意到在以上推导中
注意到这里
是不可取的，因为随着x增大，振幅不收敛。展开即可 而对于反射的波，全反射会引入一个附加相位差 P 376
同时可以看到，
的模长还是1
垂直入射
TE和TM简并，注意T 和R是针对场而言的，因此看似
3.1 时谐场
经过以上推导，我们可以发现，波动解中的三角函数项反复出现，只是增加了表达式的复杂度，真正有意义的是其中的相位，因此我们考虑引入复数，极大化简了三角函数项的运算。
此时麦克斯韦方程组：
只对一种频率的波，但是与时间无关。
对于真空（无源系统）：
单向传播
这里我们还是先求一个方向的解，此时：
其中
带入微分方程：
这个解为：
可见，解理所当然的升级成复数的形式。
平面传播
对于
解得（怎么解呢）：
对于偏振，我们使用麦克斯韦方程组中的散度运算：
因此电场振动平面垂直于传播方向，这个偏振方向又可以分成
这样将电场的解带入电场的旋度公式，可以得到磁场：
能量的复数形式
"<>"表示平均能流密度。
Plane Wave
在平面波假设下，由于同介质中的
考虑透反射模型
得到：
实际上
就是对矢量 的求导，同时这个式子也表明在无源场中波传播方向 垂直于电场方向
得到：
也就是波矢垂直于传播方向，因此麦克斯韦方程进一步化简为：
TM波
入射波
反射波
透射波
边界条件
- 磁场切向连续（y）
依然令
得到：
- 相位匹配：
- 强度匹配：
- 电场切向连续（z）
得到：
图解法 k surfaces
色散曲线考虑分量为一个光锥（圆锥）在介质中的光锥的顶角更大一点。如果在界面两侧绘制两个半圆，那么可以通过图解的方式得到相位匹配条件（
对于全反射现象：
对于全投射现象：
对于双折射现象：
对于负折射现象：
有厚度区域
边界条件：
当全投射：
FP谐振器
3.3 Media
9.2: Waves incident on planar boundaries at angles - Physics LibreTexts
Conductive media
对金属的建模
对于第三个式子，修改为
依然是对第三个式子求旋度，又注意到是无源场
最终得到：
注意此时
其解为：
注意到
High conductive
对于铜，考虑低频情况，由于电导极大，因此舍掉实部。对这种情况求解。
注意这个
这个
Low conductive
进行小量近似，可以得。
Wave in Plasma Media
- 丢弃原子实，只考虑电子在电磁场作用下的影响。
- 丢弃磁场对电子的影响，因为以平面波为例
，认为电场驱动力占主导
考虑极化
那么牛顿二律改写为：
此时
称
这里要注意，考虑运动方向是否与电偶极矩同向，有无负号，牛二律有无负号，求二次导有无负号。
注意到这个模型是不考虑电子与原子核的碰撞的，也就是没考虑到阻尼项，当然加上后这个模型会更复杂
色散关系：
k要么是纯实数，此时可以传播，要么是纯虚数，此时波的强度指数衰减，时间平均能流密度为0，也就是不能传播。
Plasma Surface Wave
此时反射系数发散，由于
实际情况
比如电离层的粒子密度就很小，此时
这种介电常数和频率相关的物质称为dispersive media。
此时色散曲线的渐近线是空气中的色散曲线。
群速度和相速度
群速度：就是拍的传播速度
群速度不可超光速，相速度可以超光速
PEC
Guided Waves in a Symmetric Slab Dielectric Waveguide
A perfect conductor or perfect electric conductor (PEC) is an idealized material exhibiting infinite electrical conductivity or, equivalently, zero resistivity (cf. perfect dielectric). While perfect electrical conductors do not exist in nature, the concept is a useful model when electrical resistance is negligible compared to other effects. One example is ideal magnetohydrodynamics, the study of perfectly conductive fluids. Another example is electrical circuit diagrams, which carry the implicit assumption that the wires connecting the components have no resistance. Yet another example is in computational electromagnetics, where PEC can be simulated faster, since the parts of equations that take finite conductivity into account can be neglected.
注意还是利用贴近界面的技巧，可以省略x项
可见界面左侧的电场切向叠加相消了，是符合对PEC定义的，而法向需要用电场垂直于传播方向的方法求得，结论是法向方向大小不变。
这里写电磁波时不仅要注意传播方向反向，还有幅值取负数，从而相消。
但是磁场的边界连续并不是直接相等，而是存在表面电流，因此边界连续如下所示：
偏振变化
注意，表达式没变（这里系数变化不会影响偏振状态），但是传播方向反了，因此偏振方向改变。
4 .2 波导
TE两板间反射
E field
同理：
得到：
多一个条件：导波条件=>由于对PEC有一些理想化条件，注意这个
不能取0，因为此时电磁波不存在，因为不存在符合边界条件的解，可以通过 得到。称m=k为k阶模式。
如果频率比较小，那么
会衰减，称为截止频率，此时临界
相速度还是会超光速的。
H field
由于磁场的边界连续，PEC上必须有面电流
则
TM两板间反射
得到
考虑m的取值范围：
对于m=0，此时模式中电场没有
相比TE，TM的色散曲线多了一条直线，其余部分重合。
同时注意
此时
其他导波
Cylindrical Rectangular Waveguides
TM waves
注意到三个方向的场由麦克斯韦方程组耦合在一起，因此考虑先从z方向下手进行求解，因为其相对简单。
为了通过z分量求解其他分量，需要利用旋度公式，注意，此时需要其分量形式，定义
把这个公式按照矢量方向写开，并一一对应，可以得到：
注意：
只要在叉乘中包括了z向，那么叉乘的结果肯定垂直于z向，那也就落到s向中
这里的s向是多个方向的集合，代表了非z方向。
电磁场的表达式高度对称，因此列出一组可以同理写出另一组
为了得到
由于
最终，带入一开始得到的z方向表达式，可以得到：
同理可以得到
注意到在散度公式中，还有两组没有用到，也就是4.2.79，4.2.80，可以将我们刚刚得到的
注意，梯度的旋度为0，旋度的散度为0
得到：
注意到z分量与其他四个平面平行，因此其叠加形式非常简单，因此其解形如：
由之前的推导可以知道，A = -B, C = -D，因此用欧拉公式可以化为正弦形式，可以认为系数为1，因为我们只关心变化的部分，常数由边界条件决定，在此可以先不考虑。
同时相对于二维，在y方向上新增了导波条件，其形式与x和二维的导波条件的形式完全一致。
带入我们之前推导的由
最终得到以下公式组：
注意区分切向与法向分量。不连续写
，连续写 ，这是由边界条件得到的。注意面电流和极化电荷导致了不连续。 比如
为 ，因为在上下和左右边界匹配，由于金属中切向电场为0，因此波导中电场切向也强制为0。
在得到表达式后观察(m,n)的取值：
| (m,n) | 是否存在 |
|---|---|
| (1,0) | 不存在 |
| (0,1) | 不存在 |
| (0,0) | 不存在 |
| (1,1) | 最低阶模式 |
截止频率：对于最低阶模式，令
在截止频率下，
TE waves
| (m,n) | 是否存在 |
|---|---|
| (0,0) | 不存在 |
| (0,1) | 存在 |
| (1,0) | 存在 |
| (0,1),(1,0)简并degenerate | 当波导端面为方时截止频率和色散曲线一样，其他情况则不然。不简并才有单模波导，并且单模波导有工作频率上限。 |
| (1,1) |
填充介质的波导：做微小结构比较方便，使用SIW工艺，substrate integrate wave
不填充的波导：不容易击穿，适用于大功率
fundamental mode
Since the
Circular Dielectric Waveguides
修改
注意此时没有
周长上的导波条件（周长方向的波需要闭合，也就是驻波）：
其中
P 435
注意：写成三角函数时是驻波，写成e指数是行波
可见，行波解的极大是会移动的，而驻波解的极大不移动。
单界面导波：让反射系数和投射系数发散就可以导波。
传输线：见下章
同轴线：考虑将一个平面卷起来，也就变成同轴线，其没有色散与截止频率。
全反射面导波：两个全反射平面也可以用于导波。可见 P 424
激励电磁波的方法
如果知道电磁场分布可以得到面电流，那么如果想要生成希望得到的电磁波，只需要制造符合所需电磁波的边界条件即可，也就是控制面上电流的大小与方向。
此时磁场在垂直于平面，平行于电流的方程。通过电场的散度公式，可以得到电场的方向。
以冲击函数形式的电流为例，注意，这个电流源对位置有要求，也就是空间位置的选择性：
这实际上是一个类似傅里叶变换的形式，因此可以用傅里叶变换的同等方法求解，也就是利用三角函数的正交性，乘以各模式三角函数项，得到每个系数，就可以得到所有模式对应的系数，通过系数是否非零判断所激励出的模式。
可见，只有奇数阶模式可以存在。
如果以面为激励源，一些本征模场可能重叠后为零（根据奇偶性易得）
- 空间选择
- 偏振选择
- 激励的性质
如果使用电场激励，那么只能产生TM模式。
4.3 Resonator
Rectangular Cavity Resonator
谐振频率是谐振腔中波可能存在的状态
谐振条件
TM field
| mode | 分析 |
|---|---|
| TM(0,0,0) | 不存在 |
| TM(1,1,0) | 存在，且为最低阶模式 |
| TM(1,0,1) | 不存在 |
| TM(0,1,1) | 不存在 |
| TM(1,1,1) | 存在 |
TE field
| mode | 分析 |
|---|---|
| TE(0,0,0) | 不存在 |
| TE(1,1,0) | 不存在，磁场全为0 |
| TE(1,0,1) | 存在，且为最低阶模式 |
| TE(0,1,1) | 存在 |
| TE(1,1,1) | 存在 |
品质因数
2 传输线
通过空间中的场分布可以反推边界条件。
得到：
w 为y 方向取的宽度，d为PEC板间距
注意到因为这个方程的连续性很好，因此可以对1/2式分别对z/t求导，最终得到：
等势面的等势跟波长有关，当低频情况下，波长远大于等势面物理尺寸，此时可以将表面当作等势体，而对于高频情况，波长非常短，因此等势面的概念就不存在了。
同时在高频情况下，表面的面电荷分布也是不均匀的，因此在表面会产生电压差。
P 147
解得：
注意这个
和 是相关的，与介质或者说系统有关系
等效阻抗
同时为了降低边缘效应的影响，需要使得
瞬态分析
注意到边界上可能发生反射现象，这里需要定义反射系数。边界匹配需要使用电压的连续性条件，因此在右端面的边界匹配为：
注意，这里的电压不是一个恒定值，而是一个波动函数，关于时间与空间。这个式子和电磁波的边界匹配是一样的。同时在处理欧姆定理时前面的正负号与波的前进方向有关
同理对于做边界
以此类推，可以得到一个无穷项求和，并且每一项的建立都是需要时间的。
整理这个式子，可以得到：
情况分析
反射系数为-1，全反射，类似PEC
反射系数为1，PMC
反射系数为0，负载匹配。
稳态分析与频域分析
这个方程是易于求解的，解得：
为了知道e指数项如何与不同方向传播的电流匹配，需要观察完整的波动方程，而非是稳态的波动方程。那么非常简单的乘上
，并且研究波峰（比如），随时间前进的方向，即可得到。 那么在定义电压电流的复数形式时，如果使用了
，那么最后的匹配结果应该是与现在相反的。 带
为右行波，带 的为左行波
并且有色散关系：
并且得到：
复阻抗
在模电中，阻容的微分方程为：
将其扩展为复数形式，注意，此时我们的V/I使用的是负向波。
注意，现在使用的电压电流的参考方向会决定阻容微分方程的正负性，这里，书上的写法实际上有问题，因为书本使用的是负向波，同时欧姆定理中应当有个负号，然后负负得正相消，得到的最终结果不变
反射与折射
Generalized Reflection Coefficient
VSWR（电压驻波比）是衡量阻抗匹配的一个因素，当良好进行阻抗匹配时，反射系数应当为0，此时VSWR为1。
反之当开路和短路时，VSWR为无穷。
在一般情况下，电压驻波比应当（VSWR）应当是一个大于1的值，越小越好
Input Impedance
5 Radiation
Static
E field
G表征在
因此：
由于这个系统是球对称的，因此使用球坐标，又与角度无关，因此
在
看起来好像有两个可行的解：
因此要在
利用高斯定理：
另一个常数的解是不行的，重新走一遍以上的流程很容易知道。
H field
需要凑出类似的二阶形式，因此定义：
称为vector potential
实际上这个
存在一个特定的规范，称为库伦规范，使得
因此：
进行一样的操作，得到：
这里的r很多，因此要注意不要带错，在散度公式中的r是空间某点
相对源 的坐标，也就是
Dynamic
此时第一项不可省略
这里为了保证格林函数积分后可以得到任意方向的电场，需要将其扩充成一个
$\nabla\times\nabla\times
\vec r \int_V \vec r'$的，因此可以交换顺序
将以上两式带入最开始的公式，并且同时去掉体积分符号：
并矢积：
并矢是一个张量
并矢的格林函数
那么：
最终得到：
注意：以上推导中使用的
是场点相对源点的位置，此时才有球对称性。 因此在下文，将
改写成 从而获得空间中的绝对坐标，其中 是场点， 是源点。
最终：
其中：
5.2 B Far-field approximation
远场近似：
则：
那么：
称
5.3 Hertzian Dipole
graph LR
电流源--体积分/傅里叶变换-->矢量电流矩--远场近似-->场分布为了表述一个Hertzian Dipoles
其中
注意积分中的指数项是向量点乘的形式，而不是标量乘。
为了求解磁场，需要使用麦克斯韦方程组，此时
注意此时：
能流
平均能流密度：
Radiation Pattern
注意，在
方向的大小是不变的。这里Dipoles在 方向上的不均匀是由源的方向性带来的。
Directive Gain
由于Dipoles有方向性，因此考虑能量在空间中的分布。为了表征Dipoles的方向性，我们用空间归一化的能量来表征。
其中
为波阻抗，在传输线一节曾经提到。
因此这样定义了
保证其在角度上的积分和为1，满足归一化条件，表征了能量在方向上的分布。
Directivity
是针对赫兹dipoles而言的。
5.4 Linear Dipole Arrays
考虑N个Dipole在空间中按照d间隔排开，相邻相位差为
进行一次傅里叶变换得到**（注意坐标系变换）**：
在向量运算时一定要将其转化到同一个坐标系下点乘，此处将极坐标转换为直角坐标。
以u绘图
u=-5*pi:0.001:5*pi;
N=5
f=abs(sin(N/2*u)./sin(1/2*u));
plot(u,f,LineWidth=2)
set(gca,'XTick',-5*pi:pi:5*pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-5pi','-4pi','-3pi','-2pi','-pi','0','pi','2pi','3pi','4pi','5pi'})
xlabel('u')
ylabel('Amp')
空间绘图
clc,clear
%%
N=5; % dipole数量
k=5; % \omega / C
d=0.2; % dipole间距
alpha=0.5*pi; % 相位差
%% 2D
theta = 0:0.001:2*pi; % 构造角度范围
u=k*d*cos(theta)-alpha;
rho = abs(sin(N*u/2)./(sin(u/2)));
subplot(211)
polarplot(theta, rho, 'r');
%% 3D
theta=linspace(0,pi);
phi=linspace(0,2*pi);
[tt,pp]=meshgrid(theta,phi);
u=k*d*sin(tt).*cos(pp)-alpha;
r = abs(sin(N/2*u)./sin(1/2*u));
[x,y,z]=sph2cart(pp,pi/2-tt,r);
subplot(212)
mesh(x,y,z)
surf(x,y,z)N=5;k=10;d=0.2;a=0.5*pi;:
N=5;k=50;d=0.2;a=0.5*pi;增加k
N=5;k=10;d=0.5;a=0.5*pi;:增加d
N=12;k=5;d=0.3;a=0.5*pi;: 增加N
5.1 Cerenkov Radiation
注意这里时域到频域使用的是逆傅里叶变换
3.3
注意以下推导针对***平面波和时谐场***，只用强度和振幅的信息进行运算。
Maxwell Equation in
由于三四式，
此时有两个坐标系，
以下两组方程由麦克斯韦方程组推导出来，可以写成矩阵形式，因此求解它就是找特征值和对应的特征值向量：
**特征函数**表示为：
E. Waves in Uniaxial(单轴) Media
解得：
注意是在
坐标系下
对应o光有：
对于e光有：
k-surface
F Wave in Gyrotropic Media
